(本小题满分12分）在医学生物学实验中,经常以小老鼠作为实验-优题课

（1）已知矩阵M= $(\begin{matrix} 1 & a \\ b & 1 \end{matrix})$ ，N= $(\begin{matrix} c & 2 \\ 0 & d \end{matrix})$ ，且MN= $(\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 2 & 0 \end{matrix})$ 。
（Ⅰ）求实数 $a, b, c, d$ 的值；

（Ⅱ）求直线 $y = 3 x$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $L$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} \sin θ$ 。
（Ⅰ）求圆 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 $C$ 与直线 $L$ 交于点 $A, B$ 。若点 $P$ 的坐标为（ $3, \sqrt{5}$ ），求 $|P A| + |P B|$ 。
（3）已知函数 $f (x) = |x - a|$ .
（Ⅰ）若不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $\{x - 1 \leq x \leq 5\}$ ，求实数 $a$ 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 $f (x) + f (x + 5) \geq m$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ,其图像记为曲线 $C$ .

（i）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数 $x_{1}$ ,曲线C与其在点 $P_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线交于另一点 $P_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ ，曲线 $C$ 与其在点 $P_{2}$ 处的切线交于另一点 $P_{3} (x_{3}, f (x_{3}))$ ，线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 与曲线 $C$ 所围成封闭图形的面积分别记为 $S_{1}, S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ,请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$ 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

如图，圆柱 $O O_{1}$ 内有一个三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $A B$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B C C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $A B = A A_{1}$ 。在圆柱 $O O_{1}$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与平面 $B_{1} O C$ 所成的角为 $θ (0^{°} < θ \leq 90^{°})$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos θ$ 的值。

已知中心在坐标原点 $O$ 的椭圆 $C$ 经过点 $A (2, 3)$ ，且点 $F (2, 0)$ 为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于 $O A$ 的直线 $L$ ，使得直线 $L$ 与椭圆 $C$ 有公共点，且直线 $O A$ 与 $L$ 的距离等于4？若存在，求出直线 $L$ 的方程；若不存在，说明理由。