在数列中，时，其前项和满足：（1）求；（2）令，求数列的前项-优题课

题文

在数列中，时，其前项和满足：
（1）求；
（2）令，求数列的前项和

科目数学题型解答题难度中等

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已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $(a > b > 0)$ ）的左焦点为 $F (- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于点 $P, Q$ .当四边形 $O P T Q$ 是平行四边形时，求四边形 $O P T Q$ 的面积.

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f (x) = 2^{x}$ 的图象上（ $n \in N^{*}$ ）.
（1）证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$ ，求数列 $\{a_{n} {b_{n}}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

在如图所示的多面体中，四边形 $A_{1} B B_{1} A_{1}$ 和 $A_{} C C_{1} A_{1}$ 都为矩形。

（Ⅰ）若 $A C ⊥ B C$ ，证明：直线 $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，在线段AB上是否存在一点 $M$ ，使直线 $D E ∥$ 平面 $A_{1} M C$ ？请证明你的结论。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{m} = \frac{1}{1000}$ ，正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 ${a_{n}}$ 的仅比；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 成等差数列，求数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 的公差的取值范围.

在平面直角坐标系 $x o y$ 中，对于直线： $a x + b y + c = 0$ 和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线 $C$ 的一条分隔线.
⑴求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点 $M$ 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为 $E$ ，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.

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