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题文

(本小题满分12分
甲、乙两位学生参加数学建模竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预
赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:72  71  69  68  85  78  83  74
乙:82  85  70  65  73  70  80  75
(Ⅰ)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学建模竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(Ⅲ)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学建模竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
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已知,关于的不等式的解集是,解关于的不等式

在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求实数的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴,轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量共线?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.

已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,试比较的大小,并说明理由.

双曲线上一点到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线的左右焦点,是双曲线上的点,若
的面积;
(3)过作直线交双曲线两点,若,是否存在这样的直线,使为矩形?若存在,求出的方程,若不存在,说明理由.

如图,三棱柱中,侧面底面,且,O为中点.
(1)证明:平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在上是否存在一点,使得平面
若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.

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