(本小题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学建模竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预
赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:72 71 69 68 85 78 83 74
乙:82 85 70 65 73 70 80 75
(Ⅰ)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学建模竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由;
(Ⅲ)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学建模竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列
及数学期望Eξ.
已知且
,关于
的不等式
的解集是
,解关于
的不等式
在平面直角坐标系中,经过点
且斜率为
的直线
与椭圆
有两个不同的交点
.
(1)求实数的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴,
轴正半轴的交点分别为
,是否存在常数
,使得向量
共线?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
已知等差数列的公差
大于0,且
是方程
的两根,数列
的前
项和为
,且
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,试比较
的大小,并说明理由.
双曲线上一点
到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线的左右焦点,
是双曲线上的点,若
,
求的面积;
(3)过作直线
交双曲线
于
两点,若
,是否存在这样的直线
,使
为矩形?若存在,求出
的方程,若不存在,说明理由.
如图,三棱柱中,侧面
底面
,
,且
,O为
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在上是否存在一点
,使得
平面
,
若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.