本小题12分）若且，求证和中至少有一个成立。-优题课

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本小题12分）
若且，求证和中至少有一个成立。

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某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ .

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求 $p$ 的值；
（Ⅱ）设系统 $A$ 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的概率分布列及数学期望 $E ξ$ .

对于数集 $X = \{- 1, x_{1}, x_{2,} \dots, x_{n}\}$ ，其中 $0 < x_{x} < x_{2} < \dots < x_{n}$ ， $n \geq 2$ ，定义向量集 $Y = \{\underset{a}{\to} \underset{a}{\to} = (s, t, s \in X, t \in X)\}$ . 若对于任意 $\underset{a_{1}}{\to} \in Y$ ，存在 $\underset{a_{2}}{\to} \in Y$ ，使得 $\underset{a_{1}}{\to} . \underset{a_{2}}{\to} = 0$ ，则称X具有性质 $P$ .例如 $X = \{- 1, 1, 2\}$ 具有性质 $P$ .
（1）若 $x > 2$ ，且 $\{- 1, 1, 2, x\}$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $X$ 具有性质 $P$ ，求证： $1 \in X$ ,且当 $x_{n} > 1$ 时， $x_{1} = 1$ ；
（3）若 $X$ 具有性质 $P$ ，且 $x_{1} = 1, x_{2} = q$ （ $q$ 为常数），求有穷数列 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的通项公式.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$ . $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ . 若 $M, N$ 分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证： $O$ 到直线 $M N$ 的距离是定值.

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$ 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

已知函数 $f (x) = l g (x + 1)$ .
（1）若 $0 < f (1 - 2 x) - f (x) < 1$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数.

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