（本小题满分12分）某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主-优题课

题文

（本小题满分12分）
某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
[180 , 210）
[210 , 240）
[240 , 270）
[270 , 300）
[300 , 330）

（1）求分布表中，的值；
（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．

科目数学题型解答题难度中等

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已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明：对任意的 $t > 0$ ，存在唯一的 $s$ ，使 $t = f (s)$ ．
（3）设（2）中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g (t)$ ，证明：当 $t > e^{2}$ 时，有 $\frac{2}{5} < \frac{\ln g (t)}{\ln t} < \frac{1}{2}$ ．

已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ ，且 $S_{3} + a_{3}, S_{5} + a_{5}, S_{4} + a_{4}$ 成等差数列．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 $T_{n} = S_{n} - \frac{1}{S_{n}} (n \in N^{+})$ ，求数列 ${T_{n}}$ 的最大项的值与最小项的值．

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A, B$ 分别为椭圆的左，右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C, D$ 两点．若 $A B \cdot B D + A D \cdot C B = 8$ ，求 $k$ 的值．

如图，四棱柱 $A B C D ﹣ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点．
（1）证明 $B_{1} C_{1} ⊥ C E$ ；
（2）求二面角 $B_{1} - C E - C_{1}$ 的正弦值．
（3）设点 $M$ 在线段 $C_{1} E$ 上，且直线 $A M$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求线段 $A M$ 的长．

一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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