（本小题满分10分）
（I）
两数的最大公约数为400，则两数的公约数的个数是 ；
（II）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、
上各装一个灯泡.要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用
一个的安装方法共有 种（用数字作答）．
（本小题12分）在等差数列
中，
..
（1）求
；
（2）设
，求数列
的前
项和
的取值范围.
（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）确定函数在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若
时
恒成立，求正整数
的最大值.
（本小题满分14分）如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）探究
是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
（本小题满分13分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面是菱形，
.
（Ⅰ）求证：
平面
（Ⅱ）若
求
与
所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面
与平面
垂直时，求的长.
（本小题满分13分）设数列
的前
项和为
，并且满足
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.