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题文

在直角梯形ABCD中, A为PD的中点,如下图,
将△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,点E在SD上,

(1)求证:SA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在点F,使SF//平面EAC?若存在,确定F点的位置,若不存在,请说明理由?

科目 数学   题型 解答题   难度 较易
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已知函数 f ( x ) = a x + b x + c ( a > 0 ) 的图象在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程为 y = x - 1 .

(I)用 a 表示出 b , c ;

(II)若 f ( x ) ln x [ 1 , + ) 上恒成立,求 a 的取值范围;

(III)证明: 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n > ln ( n + 1 ) + n 2 ( n + 1 ) ( n 1 ) .

已知数列 { a n } 满足: a 1 = 1 2 3 ( 1 + a n + 1 ) 1 - a n = 2 ( 1 + a n ) 1 - a n + 1 , a n a n + 1 0 n 1 ;数列 { b n } 满足: b n = a n + 1 2 - a n 2 n 1 .

(1)求数列 { a n } { b n } 的通项公式;

(2)证明:数列 { b n } 中的任意三项不可能成等差数列。

如图,在四面体 A B O C 中, O C O A , O C O B , A O B = 120 ° , 且 O A = O B = O C = 1 .

image.png

(Ⅰ)设为 P A C 的中点,证明:在 A B 上存在一点 Q ,使 P Q O A ,并计算 A B A Q 的值;
(Ⅱ)求二面角 O - A C - B 的平面角的余弦值.

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x (单位: c m )满足关系: C x = k 3 x + 5 0 x 10 .若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设 f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求 k 的值及 f x 的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f x 达到最小,并求最小值。

已知函数 f x =cos π 3 + x cos π 3 - x ,g x = 1 2 sin2x- 1 4
(Ⅰ)求函数 f x 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 h x =f x -g x 的最大值,并求使 h x 取得最大值的 x 的集合。

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