（本小题满分13分）
已知，在水平平面
上有一长方体
绕
旋转
得到如图所示的几何体．
(Ⅰ)证明：平面
平面
；
（Ⅱ）当
时，直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求
的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面
与平面所成的角为
，
长方体的最高点离平面的距离为
，请直接写出的一个表达式，并注明定义域．
已知函数
，
，
图象与
轴异于原点的交点M处的切线为
，
与轴的交点N处的切线为
， 并且与平行．
（1）已知实数t∈R，求
的取值范围及函数
的最小值（用t表示）；
（2）令
，给定
，对于两个大于1的正数
，存在实数
满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围．
已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
、
，短轴两个端点为
、
，且四边形
是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
、
分别是椭圆长轴的左、右端点，动点
满足
，连结
，交椭圆于点
．证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点的定点Q，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
已知等差数列
的前
项和为
，并且
，
，数列
满足：
，
，记数列的前项和为
．
（1）求数列的通项公式
及前项和公式；
（2）求数列的通项公式
及前项和公式；
（3）记集合
，若
的子集个数为16，求实数
的取值范围。
如图,已知
平面
,
,△是正三角形,
,且
是
的中点．
（1）求证:
平面
;
（2）求证:平面
平面
;
（3）求平面与平面所成锐二面角的大小．
在株洲市二中组织的“青春杯”篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是
，
．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．