已知函数．（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，且对-优题课

题文

已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．

科目数学题型解答题难度中等

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某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 $a$ 元（ $3 \leq a \leq 5$ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 $x$ 元（ $9 \leq x \leq 11$ ）时，一年的销售量为 $(12 - x)^{2}$ 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 $L$ （万元）与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大，并求出 $L$ 的最大值 $Q (a)$ ．

如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的大小；
（Ⅲ）求点 $C$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

在 $∆ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{4}, \tan B = \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若 $∆ A B C$ 最大边的边长为 $\sqrt{17}$ ，求最小边的边长．

已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\} (k \geq 2)$ ，其中 $a_{i} \in Z (i = 1, 2, \dots, k)$ ，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合： $S = \{(a, b) a \in A, b \in A, a + b \in A\}$ ， $T = \{(a, b) a \in A, b \in A, a - b \in A\}$ ．其中是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$ ．若对于任意的 $a \in A$ ，总有 $- a \notin A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P$ ．
（I）检验集合 $\{0, 1, 2, 3\}$ 与 $\{- 1, 2, 3\}$ 是否具有性质 $P$ 并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$ ；
（II）对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$ ，证明： $n \leq \frac{k (k - 1)}{2}$ ；
（III）判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论．

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2 r$ ，短半轴长为 $r$ ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $A B$ 是半椭圆的短轴，上底 $C D$ 的端点在椭圆上，记 $C D = 2 x$ ，梯形面积为 $S$ ．

（I）求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 $S$ 的最大值．

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