(本小题满分12分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”.图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相遇,若竖直线段有第一条的为第一层,有二条的为第二层,……,依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第层第
个竖直通道(从左至右)的概率为
.(已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每个通道)
(Ⅰ)求的值,并猜想
的表达式.(不必证明)
(Ⅱ)设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为
,其中
,试求
的分布列及数学期望.
(本小题满分12分)
如图,与
都是边长为2的正三角形,
平面平面
,
平面
,
.
(1)求点到平面
的距离;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
(本小题满分12分)
设函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若在
上的最大值为
,求
的值.
(本小题满分12分)
某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一个智能门,首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时间.
(1)求的分布列;
(2)求的数学期望.
(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,求
在区间
上的取值范围;
(2)当时,
,求
的值.
已知集合 , 对于 ,定义 与 的差为 ;
与 之间的距离为
(Ⅰ)证明: ,有 ,且 ;
(Ⅱ)证明: , 三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ)设 ,中有 个元素,记 中所有两元素间距离的平均值为 .证明: .