如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．（Ⅰ）证明-优题课

题文

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求棱与所成的角的大小；
（Ⅲ）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．

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设 $f (x) = a (x - 5)^{2} + 6 \ln x$ ,其中 $a \in R$ ,曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, 6)$ ．
(1)确定 $a$ 的值；
(2)求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

设 $a < 1$ ，集合 $A = {x \in R | x > 0}, B = {x \in R | 2 x^{2} - 3 (1 + a) x + 6 a > 0}, D = A \cap B$ ．
（1）求集合 $D$ （用区间表示）；
（2）求函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (1 + a) x^{2} + 6 a x$ 在 $D$ 内的极值点．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ , $e = \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0, 2)$ 的距离的最大值为 $3$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M (m, n)$ ，使得直线 $l$ ： $m x + n y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且 $△ O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $△ O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由．

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为S_n，满足 $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1, n \in N^{+}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 5$ ， $a_{3}$ 成等差数列．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ ．

如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 在线段 $P C$ 上， $P C ⊥$ 平面 $B D E$ ．
（1）证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）若 $P A = 1$ ， $A D = 2$ ，求二面角 $B - P C - A$ 的正切值．

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