已知函数 $f\left(x\right)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}$， $h\left(x\right)=\sqrt{x}$．
（Ⅰ）设函数 $F\left(x=\right)=18f\left(x\right)-x^2{\left[h\left(x\right)\right]}^2$，求 $F\left(x\right)$的单调区间与极值；
（Ⅱ）设 $a\in R$，解关于 $x$的方程 $lg\left[\frac{3}{2}f\left(x-1\right)-\frac{3}{4}\right]=2lgh\left(a-x\right)-2lgh\left(4-x\right)$；
（Ⅲ）设 $n\in N^{+}$，证明： $f\left(n\right)h\left(n\right)-\left[h\left(1\right)+h\left(2\right)+\dots +h\left(n\right)\right]\ge \frac{1}{6}$．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等