已知△ABC是等腰直角三角形，∠A90°，D是腰AC上的一个-优题课

某校拟建一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整

（1）列式

设矩形的一边长是 $xm$ ，则另一边长是　　 $m$ ，若周长为 $ym$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为　　

（2）画图

①列表

$x$	$\dots$	4	6	10	13	16	20	25	30	$\dots$
$y$	$\dots$	58	$45 \frac{1}{3}$	40	$41 \frac{5}{13}$	$44 \frac{1}{2}$	$a$	58	$66 \frac{2}{3}$	$\dots$

表中 $a =$ 　　

②描点：如图所示；

③连线：请在图中画出该函数的图象．

（3）发现

图象最低点的坐标为　　，即当 $x =$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40 m$ ；

（4）验证

在张老师的指导下，同学们将 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式进行配方，得出 $y = 2 {(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})}^{2} + 40$ ．

$∵ 2 {(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})}^{2} ⩾ 0$

$∴ y ⩾$ 　　．

$∴$ 当 $\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}} = 0$ 时， $y$ 有最小值；

此方程可化为 ${(\sqrt{x})}^{2} - 10 = 0$ ；

$∴$ 当 $x =$ 　　 $m$ 时，周长 $y$ 有最小值 $40 m$ ．

如图， $B$ 地在 $A$ 地的北偏东 $56 °$ 方向上， $C$ 地在 $B$ 地的北偏西 $19 °$ 方向上，原来从 $A$ 地到 $C$ 地的路线为 $A \to B \to C$ ，现在沿 $A$ 地北偏东 $26 °$ 方向新修了一条直达 $C$ 地的分路，路程比原来少了20千米．求从 $A$ 地直达 $C$ 地的路程（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

如图， $ΔABC$ 内接于圆 $O$ ，且 $AB = AC$ ，延长 $BC$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，连接 $AD$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDE$ ；

（2）填空：

①当 $∠ ABC$ 的度数为　　时，四边形 $AOCE$ 是菱形．

②若 $AE = \sqrt{3}$ ， $AB = 2 \sqrt{2}$ ，则 $DE$ 的长为　　．

某中学为培养学生的阅读习惯，开展了"读书周"活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了如下尚不完整的统计图表

学生课外阅读时间统计表

阅读时间 $/ h$	频数
3	3
4	$m$
5	30
6	12
7	3

请你根据以上信息回答下列问题

（1）填空： $m =$ 　　，本次调查的人数为　　；

（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为　　 $h$ ；

（3）扇形统计图中，课外阅读 $6 h$ 所对应的圆心角的度数是　　；

（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了 $25 %$ ，求活动前的人均阅读时间．

如图1，过点 $A (8, 0)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 与直线 $y = \frac{2}{3} x$ 交于点 $B (6, n)$ ．点 $P$ 是线段 $OB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ．设 $ΔBOE$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）请直接写出 $n$ 的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$ 最大时点 $P$ 的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $PE$ 的长与三角形面积公式，求出 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式，可确定点 $P$ 的位置．

乙：当点 $P$ 运动到点 $O$ 或点 $B$ 时， $S$ 的值可看作0，则当点 $P$ 运动到 $OB$ 中点时， $S$ 最大，即 $S$ 最大时，点 $P$ 为 $OB$ 的中点．

请参考甲的方法求出 $S$ 最大时点 $P$ 的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$ 与任意抛物线相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $G$ 是线段 $MN$ 上的一个动点，过点 $G$ 作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$ ．当 $ΔMHN$ 的面积最大时，点 $G$ 一定是线段 $MN$ 的中点吗？试作出判断并说明理由．