如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪-优题课

如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，将△ECF绕点F在BD的上方左右旋转，设旋转时FC交BA于H（不与点B重合），EF交DA于G（不与点D重合），求证：BH·GD=BF²
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（不与点B、D重合），且CF如终过点A，过点A作AG∥CE，交EF于G，连接DG
探究：FD+DG= ，并请证明你的结论

科目数学题型解答题难度中等

如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 \sqrt{3} x + c (a \neq 0)$ 过点 $O (0, 0)$ 和 $A (6, 0)$ ．点 $B$ 是抛物线的顶点，点 $D$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一点，连接 $OB$ ， $OD$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当 $∠ BOD = 30 °$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，交线段 $OD$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是线段 $OB$ 上的动点（点 $F$ 不与点 $O$ 和点 $B$ 重合），连接 $EF$ ，将 $ΔBEF$ 沿 $EF$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ， $ΔEF B^{'}$ 与 $ΔOBE$ 的重叠部分为 $ΔEFG$ ，在坐标平面内是否存在一点 $H$ ，使以点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，射线 $AB$ 和射线 $CB$ 相交于点 $B$ ， $∠ ABC = α (0 ° < α < 180 °)$ ，且 $AB = CB$ ．点 $D$ 是射线 $CB$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $AD$ ，并在射线 $AD$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ AEC = α$ ，连接 $CE$ ， $BE$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $CB$ 上， $α = 90 °$ 时，请直接写出 $∠ AEB$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $CB$ 上， $α = 120 °$ 时，请写出线段 $AE$ ， $BE$ ， $CE$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $α = 120 °$ ， $\tan ∠ DAB = \frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{CE}{BE}$ 的值．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AC$ 是对角线， $∠ CAB = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $AB$ 的长为半径作 $⊙ A$ ，交 $BC$ 边于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $DE$ 与 $⊙ A$ 相切；

（2）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 4$ ，求阴影部分的面积．

超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量 $y$ （瓶 $)$ 与每瓶售价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系（其中 $10 ⩽ x ⩽ 15$ ，且 $x$ 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为 $w$ 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

如图，我国某海域有 $A$ ， $B$ 两个港口，相距80海里，港口 $B$ 在港口 $A$ 的东北方向，点 $C$ 处有一艘货船，该货船在港口 $A$ 的北偏西 $30 °$ 方向，在港口 $B$ 的北偏西 $75 °$ 方向，求货船与港口 $A$ 之间的距离．（结果保留根号）

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