计算：-优题课

为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了　　名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 1 (a \neq 0$ ， $a$ 为实数）的图象过点 $A (- 2, 2)$ ，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0$ ， $k$ ， $b$ 为实数）的图象 $l$ 经过点 $B (0, 2)$ ．

（1）求 $a$ 值并写出二次函数表达式；

（2）求 $b$ 值；

（3）设直线 $l$ 与二次函数图象交于 $M$ ， $N$ 两点，过 $M$ 作 $MC$ 垂直 $x$ 轴于点 $C$ ，试证明： $MB = MC$ ；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段 $MN$ 为直径的圆与 $x$ 轴的位置关系，并说明理由．

2017年9月8日 $- 10$ 日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的 $A$ 点出发 $(AB = 1000$ 米），沿俯角为 $30 °$ 的方向直线飞行1400米到达 $D$ 点，然后打开降落伞沿俯角为 $60 °$ 的方向降落到地面上的 $C$ 点，求该选手飞行的水平距离 $BC$ ．

今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为 $A$ （优秀）、 $B$ （良好）、 $C$ （合格）、 $D$ （不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．

等级	频数	频率
$A$	$a$	0.3
$B$	35	0.35
$C$	31	$b$
$D$	4	0.04

请根据图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽取的样本容量为　　；

（2） $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）请在图2中补全条形统计图；

（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“ $A$ （优秀）”等级的学生人数为　　人．

如图，点 $P$ 是 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 延长线上一点，且 $AB = 4$ ，点 $M$ 为 $\hat{AB}$ 上一个动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），射线 $PM$ 与 $⊙ O$ 交于点 $N$ （不与 $M$ 重合）．

（1）当 $M$ 在什么位置时， $ΔMAB$ 的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证： $ΔPAN ∽ ΔPMB$ ．