如图，点D是等边三角形ABC外接圆的BĈ上一点（与点B，C-优题课

如图，点 $D$ 是等边三角形 $ABC$ 外接圆的 $\hat{BC}$ 上一点（与点 $B$ ， $C$ 不重合）， $BE / / DC$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔBDE$ 是等边三角形；

（2）求证： $ΔABE ≅ ΔCBD$ ；

（3）如果 $BD = 2$ ， $CD = 1$ ，求 $ΔABC$ 的边长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理全等三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $CD$ 上，且 $BE = DF = \frac{3}{2}$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是菱形；

（2）求线段 $EF$ 的长．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 是弧 $BC$ 的中点， $BC$ 与 $AD$ 、 $OD$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $DO / / AC$ ；

（2）求证： $DE \cdot DA = D C^{2}$ ；

（3）若 $\tan ∠ CAD = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin ∠ CDA$ 的值．

如图， $ΔABC$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 边上， $AE = AB$ ，将线段 $AC$ 绕 $A$ 点旋转到 $AF$ 的位置，使得 $∠ CAF = ∠ BAE$ ，连接 $EF$ ， $EF$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ．

（1）求证： $EF = BC$ ；

（2）若 $∠ ABC = 65 °$ ， $∠ ACB = 28 °$ ，求 $∠ FGC$ 的度数．

某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；

（2） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？

在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是　　；

（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．

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