(本小题满分14分)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的-优题课

题文

(本小题满分14分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

………………………
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

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设正整数数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} = 4$ ，且对于任何 $n \in N^{*}$ ，有 $2 + \frac{1}{a_{n + 1}} < \frac{\frac{1}{a_{n} + a_{n - 1}}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} < 2 + \frac{1}{a_{n}}$ ．
（1）求 $a_{1}, a_{3}$ ；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n}$ ．

设动点 $P$ 到点 $A$ $(- 1 ， 0)$ 和 $B (1 ， 0)$ 的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，
$∠ A P B = 2 θ$ ,且存在常数 $λ$ ( $0 < λ < 1$ ,使得 $d_{1} d_{2} \sin^{2} θ = λ$ ．
（1）证明：动点 $P$ 的轨迹 $C$ 为双曲线，并求出 $C$ 的方程；
（2）过点 $B$ 作直线交双曲线 $C$ 的右支于 $M$ 、 $N$ 两
点,试确定λ的范围,使 $\underset{O M}{\to} . \underset{O N}{\to} = 0$ ,其中点O为坐标原点．

如图是一个直三棱柱（以 $A_{1} B_{1} C$ 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 $A B C$ ．已知 $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1, ∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90^{o}, A A_{1} = 4, B B_{1} = 2, C C_{1} = 3$ ， $∠ A_{l} B_{l} C_{1} ＝ 90 °$ ，
$A A_{l} ＝ 4$ ， $B B_{l} ＝ 2$ ， $C C_{l} ＝ 3$ ．
（1）设点 $O$ 是 $A B$ 的中点，证明： $O C ∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$

（2）求二面角 $B - A C - A_{1}$ 的大小；
（3）求此几何体的体积．

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，  0.6，  0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的期望．

如图,函数 $y = 2 \cos (ω x + θ) (x \in R, 0 \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 的图象与 $y$ 轴交于点( $0, \sqrt{3}$ )，且在该点处切线的斜率为 $- 2$ ．
（1）求 $θ$ 和 $ω$ 的值；
（2）已知点 $A (\frac{π}{2}, 0)$ ，点 $P$ 是该函数图象上一点，点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 是 $P A$ 的中点，当 $y_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2}, x_{0} \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，求 $x_{0}$ 的值．

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