（1）计算：．（2）解方程＝0-优题课

在 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = BC = 5$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，得到 $ΔADE$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，点 $C$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $BD$ ， $BE$ ．

（1）如图，当 $α = 60 °$ 时，延长 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

①求证： $ΔABD$ 是等边三角形；

②求证： $BF ⊥ AD$ ， $AF = DF$ ；

③请直接写出 $BE$ 的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$ 作 $DG$ 垂直于直线 $AB$ ，垂足为点 $G$ ，连接 $CE$ ，当 $∠ DAG = ∠ ACB$ ，且线段 $DG$ 与线段 $AE$ 无公共点时，请直接写出 $BE + CE$ 的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的顶点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，点 $C$ 为边 $AB$ 的中点，正方形 $OBDE$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上，连接 $CO$ ， $CD$ ， $CE$ ．

（1）线段 $OC$ 的长为　　；

（2）求证： $ΔCBD ≅ ΔCOE$ ；

（3）将正方形 $OBDE$ 沿 $x$ 轴正方向平移得到正方形 $O_{1} B_{1} D_{1} E_{1}$ ，其中点 $O$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为点 $O_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ ， $E_{1}$ ，连接 $C D_{1}$ ， $C E_{1}$ ，设点 $E_{1}$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，其中 $a \neq 2$ ，△ $C D_{1} E_{1}$ 的面积为 $S$ ．

①当 $1 < a < 2$ 时，请直接写出 $S$ 与 $a$ 之间的函数表达式；

②在平移过程中，当 $S = \frac{1}{4}$ 时，请直接写出 $a$ 的值．

倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材若干套， $A$ ， $B$ 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．

（1）若购买 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求 $A$ ， $B$ 两种型号健身器材各购买多少套？

（2）若购买 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求 $A$ 种型号健身器材至少要购买多少套？

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $BD = CD$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交边 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF ⊥ AC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $∠ CDF = 30 °$ ，求 $\hat{BD}$ 的长（结果保留 $π)$ ．

我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校 $m$ 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表：

学生最喜欢的活动项目的人数统计表

项目	学生数（名 $)$	百分比
丢沙包	20	$10 %$
打篮球	60	$p %$
跳大绳	$n$	$40 %$
踢毽球	40	$20 %$

根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　， $p =$ 　　；

（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳．