已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每-优题课

题文

已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

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某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C = \frac{q^{3}}{3} - 3 q^{2} + 20 q + 10 (q > 0)$ 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系式如下表所示：

设 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 $ξ_{k}$ ，表示当产量为 $q$ ，而市场前景无法确定的利润．
(I)分别求利润 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 与产量 $q$ 的函数关系式；
(II)当产量 $q$ 确定时，求期望 $E ξ_{k}$ ；
(III)试问产量 $q$ 取何值时， $E ξ_{k}$ 取得最大值．

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = a$ ， $D, E$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点， $M$ 为棱 $A A_{1}$ 上的点，二面角 $M - D E - A$ 为 $30 °$ ．
（I）证明： $A_{1} B_{1} ⊥ C_{1} D$ ；
（II）求 $M A$ 的长，并求点 $C$ 到平面 $M D E$ 的距离．

已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \sin (ω x - \frac{π}{6}) - 2 \cos^{2} \frac{ω x}{2}, x \in R$ （其中 $ω > 0$ ）
（I）求函数 $f (x)$ 的值域；
（II）若对任意的 $a \in R$ ，函数 $y = f (x)$ ， $x \in (a, a + π]$ 的图象与直线 $y = - 1$ 有且仅有两个不同的交点，试确定 $ω$ 的值（不必证明），并求函数 $y = f (x), x \in R$ 的单调增区间．

设正整数数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} = 4$ ，且对于任何 $n \in N^{*}$ ，有 $2 + \frac{1}{a_{n + 1}} < \frac{\frac{1}{a_{n} + a_{n - 1}}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} < 2 + \frac{1}{a_{n}}$ ．
（1）求 $a_{1}, a_{3}$ ；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n}$ ．

设动点 $P$ 到点 $A$ $(- 1 ， 0)$ 和 $B (1 ， 0)$ 的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，
$∠ A P B = 2 θ$ ,且存在常数 $λ$ ( $0 < λ < 1$ ,使得 $d_{1} d_{2} \sin^{2} θ = λ$ ．
（1）证明：动点 $P$ 的轨迹 $C$ 为双曲线，并求出 $C$ 的方程；
（2）过点 $B$ 作直线交双曲线 $C$ 的右支于 $M$ 、 $N$ 两
点,试确定λ的范围,使 $\underset{O M}{\to} . \underset{O N}{\to} = 0$ ,其中点O为坐标原点．

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