如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，ABBC-优题课

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东 $75 °$ 方向航行，在点 $A$ 处测得码头 $C$ 在船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$ 处，这时码头 $C$ 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$ 的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共　　人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图 1 中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是 160 人，全校共 2000 人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人．

如图，有四张背面完全相同的纸牌 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A (3, 0)$ ， $D (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $OB = OD$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接 $BE$ ， $AB$ ，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$ ，使 $∠ QBA = ∠ BEM$ ，求出点 $Q$ 的坐标；

（3）如图2，过点 $C$ 作 $CF / / x$ 轴，交抛物线于点 $F$ ，连接 $BF$ ，点 $G$ 是 $x$ 轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$ ，使以点 $B$ ， $F$ ， $G$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ BAC$ 为钝角， $∠ B = 45 °$ ，点 $P$ 是边 $BC$ 延长线上一点，以点 $C$ 为顶点， $CP$ 为边，在射线 $BP$ 下方作 $∠ PCF = ∠ B$ ．

（1）在射线 $CF$ 上取点 $E$ ，连接 $AE$ 交线段 $BC$ 于点 $D$ ．

①如图1，若 $AD = DE$ ，请直接写出线段 $A$ 与 $CE$ 的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $AD = \sqrt{2} DE$ ，判断线段 $AB$ 与 $CE$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $CF$ ，交射线 $BA$ 于点 $C'$ ，将 $∠ PCF$ 沿 $CC'$ 方向平移，使顶点 $C$ 落在点 $C'$ 处，记平移后的 $∠ PCF$ 为 $∠ P' C' F'$ ，将 $∠ P' C' F'$ 绕点 $C'$ 顺时针旋转角 $α (0 ° < α < 45 °)$ ， $C' F'$ 交线段 $BC$ 于点 $M$ ， $C' P'$ 交射线 $BP$ 于点 $N$ ，请直接写出线段 $BM$ ， $MN$ 与 $CN$ 之间的数量关系．