如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、-优题课

如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B
重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形
相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，
我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．

（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

如图，在矩形 $AOBC$ 中，已知 $B (4, 0), A (0, 3), F$ 是边 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B, C$ 重合），过 $F$ 点的反比例函数 $y = kx (k > 0)$ 的图象与 $AC$ 边交于点 $E$ .

（1）求证: $△ AOE$ 与 $△ BOF$ 的面积相等；

（2）记 $S = S_{△ OEF} - S_{△ ECF}$ ，求当 $k$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值为多少?

如图，在平面直角坐标系中。已知四边形 $A B C D$ 为菱形，且 $A (0, 3), B (- 4.0)$ .

（1）求过点 $C$ 的反比例函数解析式；

（2）设直线 $l$ 与（1）中所求函数图象相切，且与 $x$ 轴， $y$ 轴的交点分别为 $M, N . O$ 为坐标原点.求证: $△ OMN$ 的面积为定值.

如图， $△ AOB$ 中， $∠ ABO = 90^{\circ}$ ，边 $OB$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过斜边 $OA$ 的中点 $M$ ，与 $AB$ 相交于点N， $S_{△ AOB} = 12, AN = \frac{9}{2}$ .

（1）求 $k$ 的值；

（2）求直线 $MN$ 的解析式.

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = 2 x$ 的图象 $l$ 与函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象（记为 $Γ)$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，且 $AB = 1$ ，点 $C$ 在线段 $OB$ 上（不含端点），且 $OC = t$ ，过点 $C$ 作直线 $l_{1} / / x$ 轴，交 $l$ 于点 $D$ ，交图象 $Γ$ 于点 $E$ .

（1）求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；

（2）连接 $OE, BE, AE$ ，记 $△ OBE, △ ADE$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，设 $U = S_{1} - S_{2}$ ，求 $U$ 的最大值.

如图，正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (1, a)$ .在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, CA = CB$ ，点 $C$ 坐标为 $(- 2, 0)$ .

（1）求 $k$ 的值；

（2）求 $AB$ 所在直线的解析式.

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