若直线
过点
，且与曲线
和
都相切，
求实数
的值。
（本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形
内接于
，
，过
点的切线交
的延长线于
点。求证：
。
(本题满分14分)已知函数
。
（Ⅰ）若函数
在
上为增函数，求正实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，求在
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当时，求证：对大于
的任意正整数
，都有
。
(本题满分12分)椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线
与椭圆交于
两点。
（Ⅰ）若点
在圆
（
为椭圆的半焦距）上，且
，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若函数
且
的图象，无论
为何值时恒过定点
，求
的取值范围。
(本题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班
位女同学，
位男同学中随机抽取一个容量为
的样本进行分析。
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；
（Ⅱ）随机抽取位同学，数学成绩由低到高依次为：
；
物理成绩由低到高依次为：
，若规定
分（含分）以
上为优秀，记
为这位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若这位同学的数学、物理分数事实上对应下表：
| 学生编号 |
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数学分数 |
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物理分数 |
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根据上表数据可知，变量与
之间具有较强的线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到
）．（参考公式：
，其中
，
； 参考数据：
，
，
，
，
，
，
）
(本题满分12分)数列
的前
项和为
，且满足
，
。
（Ⅰ）求
与
的关系式，并求的通项公式；
（Ⅱ）求和
。