（1）计算：；（2）已知，求的值。-优题课

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin (A) + \sin (C) = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c = 2 a$ ，求 $\cos (B)$ 的值.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）.点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点.
（i）设直线 $B D, A M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值；
（ii）求 $∆ C M N$ 面积的最大值.

设函数 $f (x) = a \ln (x) + \frac{x - 1}{x + 1},$ 其中 $a$ 为常数，

（1）若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x) 在点 (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知公差 $d = 2$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项.
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = a_{\frac{n (n + 1)}{2}}$ ，记 $T_{n} = - b_{1} + b_{2} - b_{3} + b_{4} + \dots + {(- 1)}^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中, $A P ⊥$ 平面 $P C D$ , $A D ∥ B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ , $E, F$ 分别为线段 $A D, P C$ 的中点.

（1）求证： $A P ∥$ 平面 $B E F$ ;
（2）求证： $B E ⊥$ 平面 $P A C$ .