如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为．（1）求-优题课

如图，在平面直角坐标系中，已知 $ΔABC$ 三个顶点的坐标分别是 $A (2, 2)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (4, - 4)$ ．

（1）请在图中，画出 $ΔABC$ 向左平移6个单位长度后得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）以点 $O$ 为位似中心，将 $ΔABC$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中 $y$ 轴右侧，画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求出 $∠ A_{2} C_{2} B_{2}$ 的正弦值．

为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　　人，在扇形统计图中， $m$ 的值是　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $AB = 4$ ，矩形 $OBDC$ 的边 $CD = 1$ ，延长 $DC$ 交抛物线于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点 $P$ 是直线 $EO$ 上方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $EO$ 于点 $G$ ，作 $PH ⊥ EO$ ，垂足为 $H$ ．设 $PH$ 的长为 $l$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，求 $l$ 与 $m$ 的函数关系式（不必写出 $m$ 的取值范围），并求出 $l$ 的最大值；

（3）如果点 $N$ 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 $M$ ，使得以 $M$ ， $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AC = 12 cm$ ， $BD = 16 cm$ ，动点 $N$ 从点 $D$ 出发，沿线段 $DB$ 以 $2 cm / s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $BA$ 以 $1 cm / s$ 的速度向点 $A$ 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ，以点 $M$ 为圆心， $MB$ 长为半径的 $⊙ M$ 与射线 $BA$ ，线段 $BD$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $EN$ ．

（1）求 $BF$ 的长（用含有 $t$ 的代数式表示），并求出 $t$ 的取值范围；

（2）当 $t$ 为何值时，线段 $EN$ 与 $⊙ M$ 相切？

（3）若 $⊙ M$ 与线段 $EN$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．

【操作发现】

（1）如图1， $ΔABC$ 为等边三角形，先将三角板中的 $60 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $30 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板斜边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 30 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．

①求 $∠ EAF$ 的度数；

② $DE$ 与 $EF$ 相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $ΔABC$ 为等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，先将三角板的 $90 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $45 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板另一直角边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 45 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．请直接写出探究结果：

① $∠ EAF$ 的度数；

②线段 $AE$ ， $ED$ ， $DB$ 之间的数量关系．