（本大题共6分）若m是169的正的平方根，n是121的负的平-优题课

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 10 cm$ ， $BC = 8 cm$ ， $OD$ 垂直平分 $A$ $C$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BA$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，分别交 $AD$ ， $OD$ 于点 $F$ ， $G$ ．连接 $OP$ ， $EG$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 5)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时，点 $E$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上？

（2）设四边形 $PEGO$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使四边形 $PEGO$ 的面积最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $OE$ ， $OQ$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OE ⊥ OQ$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“ $L$ ”形纸片，图②是一张 $a \times b$ 的方格纸 $(a \times b$ 的方格纸指边长分别为 $a$ ， $b$ 的矩形，被分成 $a \times b$ 个边长为1的小正方形，其中 $a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 $2 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 $2 \times 2$ 的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 $3 \times 2$ 的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 $2 \times 4 = 8$ 种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在 $a \times 2$ 的方格纸中，共可以找到　 $(a - 1)$ 　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 $a \times 3$ 的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

$\dots \dots$

问题解决：

把图①放置在 $a \times b$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． $)$

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 $a$ ， $b$ ， $c (a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ， $c ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正整数）的长方体，被分成了 $a \times b \times c$ 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．

某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该商品每天的销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 $w$ （元 $)$ 最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $OB$ ， $OD$ 的中点，延长 $AE$ 至 $G$ ，使 $EG = AE$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当 $AB$ 与 $AC$ 满足什么数量关系时，四边形 $EGCF$ 是矩形？请说明理由．

甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？