(本题满分13分)为了了解某校高中部学生的体能情况，体育组决-优题课

题文

(本题满分13分)
为了了解某校高中部学生的体能情况，体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测试，并将所得的数据整理后画出频率分布直方图.已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数是5.
(I) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
(II) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
(III) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？

科目数学题型解答题难度较易

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某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额（元）	0	1000	2000	3000	4000
车辆数（辆）	500	130	100	150	120

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10℅，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20℅，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

在直角坐标系 $x O y$ 中,已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ,点 $P (x, y)$ 在 $∆ A B C$ 三边围成的区域(含边界)上,且 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C} (m, n \in R)$

（1）若 $m = n = \frac{2}{3}$ ,求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）用 $x, y$ 表示 $m - n$ ,并求 $m - n$ 的最大值.

四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$ .

（1）求四面体 $A B C D$ 的体积；
（2）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形.

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin (A) + \sin (C) = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c = 2 a$ ，求 $\cos (B)$ 的值.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）.点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点.
（i）设直线 $B D, A M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值；
（ii）求 $∆ C M N$ 面积的最大值.

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