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题文

(本小题满分12分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)

(Ⅰ)求x,y ;
(II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校C的概率。

科目 数学   题型 解答题   难度 未知
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如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 7 5 0 3 0 0 ,于水面C处测得B点和D点的仰角均为 6 0 0 ,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km, 2 1.414, 6 2.449)

等比数列 a n 的前n 项和为 s n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差数列

(1)求 a n 的公比 q

(2)求 a 1 - a 3 = 3 s n

(1)已知矩阵 M 2 - 3 1 - 1 所对应的线性变换把点 A x , y 变成点 A ' 13 , 5 ,试求M的逆矩阵及点A的坐标

(2)已知直线 l : 3 x + 4 y - 12 = 0 C : x = - 1 + 2 cos θ y = 2 + 2 sin θ ( θ 为参数 ) 试判断他们的公共点个数

(3)解不等式 2 x - 1 < x + 1 .

已知函数 f ( x ) = 1 3 x 3 + a x 2 + bx ,且 f ' ( - 1 ) = 0

(1) 试用含 a 的代数式表示b,并求 f ( x ) 的单调区间;

(2)令 a = - 1 ,设函数 f ( x ) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) 处取得极值,记点 M x 1 , f ( x 1 ) N x 2 , f ( x 2 ) P m , f ( m ) , x 1 < m < x 2 ,请仔细观察曲线 f ( x ) 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:

(Ⅰ)若对任意的 m x 1 , x 2 ,线段MP与曲线 f ( x ) 均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;

(Ⅱ)若存在点 Q n , f n , x n < m ,使得线段 PQ 与曲线 f ( x ) 有异于 P Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程)

已知A,B 分别为曲线C: x 2 a 2 + y 2 = 1 y 0 , a > 0 与x轴的左、右两个交点,直线 l 过点B,且与 x 轴垂直,S为 l 上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧 AB 的三等分点,试求出点S的坐标;

(2)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在 a ,使得O,M,S三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

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