（本小题满分8分）要在宽为28m的南滨路的路边安装路灯。路灯-优题课

（本小题满分8分）要在宽为28m的南滨路的路边安装路灯。路灯的灯臂长AC为3m，且与灯柱AB成120°的夹角（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CD与灯臂AC垂直。当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想。问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到0.01m，）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第二象限交于点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，满足条件： $CA ⊥ CB$ ，且 $CA = CB$ ，点 $C$ 的坐标为 $(- 3, 0)$ ， $\cos ∠ ACO = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）直接写出当 $x < 0$ 时， $kx + b < \frac{m}{x}$ 的解集．

某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表．

兴趣班	频数	频率
$A$		0.35
$B$	18	0.30
$C$	15	$b$
$D$	6
合计	$a$	1

请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数；

（3）王姀和李婯选择参加兴趣班，若她们每人从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $CD$ 是 $AB$ 边上的高， $BE$ 是 $AC$ 边上的中线，且 $BD = CE$ ．求证：

（1）点 $D$ 在 $BE$ 的垂直平分线上；

（2） $∠ BEC = 3 ∠ ABE$ ．

解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

$\frac{x - 2}{5} - \frac{x + 4}{2} > - 3$

两条抛物线 $C_{1} : y_{1} = 3 x^{2} - 6 x - 1$ 与 $C_{2} : y_{2} = x^{2} - mx + n$ 的顶点相同．

（1）求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）点 $A$ 是抛物线 $C_{2}$ 在第四象限内图象上的一动点，过点 $A$ 作 $AP ⊥ x$ 轴， $P$ 为垂足，求 $AP + OP$ 的最大值；

（3）设抛物线 $C_{2}$ 的顶点为点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 1, - 4)$ ，问在 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使线段 $QB$ 绕点 $Q$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $QB'$ ，且点 $B'$ 恰好落在抛物线 $C_{2}$ 上？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．