已知，且，.求证：对于，有.-优题课

已知，且，.
求证：对于，有.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：多面角及多面角的性质

已知函数 $f (x) = |x + 1| - 2 |x - a|, a > 0$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 图像与 $x$ 轴围成的三角形面积大于6，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1} : x = - 2$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}, C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $△ C_{2} M N$ 的面积.

如图 $A B$ 是圆 $O$ 直径， $A C$ 是 $圆 O$ 切线， $B C$ 交 $圆 O$ 与点 $E$ .

（Ⅰ）若 $D$ 为 $A C$ 中点，求证： $D E$ 是 $圆 O$ 切线；
（Ⅱ）若 $O A = \sqrt{3} C E$ ，求 $∠ A C B$ 的大小.

设函数 $f (x) = e^{2 x} - a \ln x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的导函数 $f ` (x)$ 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 $a > 0$ 时 $f (x) \geq 2 a + a \ln \frac{2}{a}$ .

已知过点 $A (1, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $M, N$ 两点.
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ） $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O N} = 12$ ,其中 $O$ 为坐标原点,求 $|M N|$ .

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