已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．求的值若，求的-优题课

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC$ 为斜边，分别以 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ 为斜边向外侧作 $Rt Δ ABD$ ， $Rt Δ ACE$ ， $Rt Δ BCF$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ，则面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系式为　　；

推广验证

（2）如图3，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC$ 为斜边，分别以 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ 为边向外侧作任意 $ΔABD$ ， $ΔACE$ ， $ΔBCF$ ，满足 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ， $∠ D = ∠ E = ∠ F$ ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $ABCDE$ 中， $∠ A = ∠ E = ∠ C = 105 °$ ， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $DE = 2$ ，点 $P$ 在 $AE$ 上， $∠ ABP = 30 °$ ， $PE = \sqrt{2}$ ，求五边形 $ABCDE$ 的面积．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	0	$- 3$	$n$	$- 3$	$\dots$

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　　，对称轴为　　；

（2）求抛物线的表达式及 $m$ ， $n$ 的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点 $P$ 为抛物线上的动点， $OP$ 的中点为 $P^{'}$ ，描出相应的点 $P^{'}$ ，再把相应的点 $P^{'}$ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线 $y = m (m > - 2)$ 与抛物线及（3）中的点 $P^{'}$ 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ，请根据图象直接写出线段 $A_{1} A_{2}$ ， $A_{3} A_{4}$ 之间的数量关系　　．

已知 $∠ MPN$ 的两边分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ， $⊙ O$ 的半径为 $r$ ．

（1）如图1，点 $C$ 在点 $A$ ， $B$ 之间的优弧上， $∠ MPN = 80 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

（2）如图2，点 $C$ 在圆上运动，当 $PC$ 最大时，要使四边形 $APBC$ 为菱形， $∠ APB$ 的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $PC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$ 的式子表示）．

如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长 $AB = 120 mm$ ，支撑板长 $CD = 80 mm$ ，底座长 $DE = 90 mm$ ．托板 $AB$ 固定在支撑板顶端点 $C$ 处，且 $CB = 40 mm$ ，托板 $AB$ 可绕点 $C$ 转动，支撑板 $CD$ 可绕点 $D$ 转动．（结果保留小数点后一位）

（1）若 $∠ DCB = 80 °$ ， $∠ CDE = 60 °$ ，求点 $A$ 到直线 $DE$ 的距离；

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把 $AB$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $10 °$ 后，再将 $CD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落在直线 $DE$ 上即可，求 $CD$ 旋转的角度．（参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.643$ ， $\cos 40 ° \approx 0.766$ ， $\tan 40 ° \approx 0.839$ ， $\sin 26.6 ° \approx 0.448$ ， $\cos 26.6 ° \approx 0.894$ ， $\tan 26.6 ° \approx 0.500$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图 $1)$ ．

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：

成绩	$30 ⩽ x < 40$	$40 ⩽ x < 50$	$50 ⩽ x < 60$	$60 ⩽ x < 70$	$70 ⩽ x < 80$	$80 ⩽ x < 90$	$90 ⩽ x ⩽ 100$
人数	1	3	3	8	15	$m$	6

根据以上图表信息，完成下列问题：

（1） $m =$ 　　；

（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；

（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有　　人，至多有　　人；

（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀 $(80$ 分及以上）的人数．