如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，DE⊥AC于点E．-优题课

如图,直线 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ,与 $y$ 轴交于点 $B$ .直线 $MN / / AB$ ,且与 $△ AOB$ 的外接圆 $⊙ P$ 相切,与双曲线 $y = - \frac{30}{x}$ 在第二象限内的图象交于 $C, D$ 两点.

（1）求点 $A, B$ 的坐标和 $⊙ P$ 的半径;

（2）求直线 $MN$ 所对应的函数解析式;

（3）求 $△ BCN$ 的面积.

已知直线 $y = x$ 上点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD / / y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $B$ ，过点 $C$ 作 $NC / / x$ 轴交 $y$ 轴于点 $N$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $E$ ，若 $B$ 是 $CD$ 的中点，且四边形 $OBCE$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ .

（1）求 $k$ 的值；

（2）若 $A (3, 3), M$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 第一象限上的任一点，求证: $|MC| - |MA|$ 为常数6；

（3）现在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $A (3, 3), P (9, 6)$ 两地转运货物，经测算，从 $M$ 到 $A$ ，从 $M$ 到 $P$ 修建公路的费用都是每单位长度 $a$ 万元，则码头 $M$ 应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）

如图，点 $P$ 为 $x$ 轴负半轴上的一个点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象于点 $A$ ，交函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $y = - \frac{1}{x}$ 于点 $C$ ，连接 $AC$ .

（1）当点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ 时，求 $△ ABC$ 的面积；

（2）若 $AB = BC$ ，求点 $A$ 的坐标；

（3）连接 $OA$ 和 $OC$ .当点 $P$ 的坐标为 $(t, 0)$ 时， $△ OAC$ 的面积是否随 $t$ 的值的变化而变化?请说明理由.

如图，在矩形 $AOBC$ 中，已知 $B (4, 0), A (0, 3), F$ 是边 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B, C$ 重合），过 $F$ 点的反比例函数 $y = kx (k > 0)$ 的图象与 $AC$ 边交于点 $E$ .

（1）求证: $△ AOE$ 与 $△ BOF$ 的面积相等；

（2）记 $S = S_{△ OEF} - S_{△ ECF}$ ，求当 $k$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值为多少?

如图，在平面直角坐标系中。已知四边形 $A B C D$ 为菱形，且 $A (0, 3), B (- 4.0)$ .

（1）求过点 $C$ 的反比例函数解析式；

（2）设直线 $l$ 与（1）中所求函数图象相切，且与 $x$ 轴， $y$ 轴的交点分别为 $M, N . O$ 为坐标原点.求证: $△ OMN$ 的面积为定值.