已知直线 $y=x$上点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//y$轴交 $x$轴于点 $D$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $B$，过点 $C$作 $\mathit{NC}//x$轴交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $E$，若 $B$是 $\mathit{CD}$的中点，且四边形 $\mathit{OBCE}$的面积为 $\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）若 $A\left(3,3\right),M$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$第一象限上的任一点，求证: $\mathrm{}\left|\mathit{MC}\right|-\left|\mathit{MA}\right|$为常数6；

（3）现在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上选一处 $M$建一座码头，向 $A\left(3,3\right),P\left(9,6\right)$两地转运货物，经测算，从 $M$到 $A$，从 $M$到 $P$修建公路的费用都是每单位长度 $a$万元，则码头 $M$应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）

科目 数学   题型 解答题   难度 较难