如图1，矩形
的顶点
为原点，点
在
上，把
沿
折叠，使点
落在
边上的点
处，点
坐标分别为
和
，抛物线
过点
.
求
两点的坐标及该抛物线的解析式；如图2，长、宽一定的矩形
的宽
，点
沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中
轴，且
在
的下方，当点横坐标为-1时，点
距离
轴
个单位，当矩形在滑动过程中被轴分成上下两部分的面积比为2:3时，求点的坐标；如图3，动点
同时从点出发，点
以每秒3个单位长度的速度沿折线
按
的路线运动，点
以每秒8个单位长度的速度沿折线
按
的路线运动，当两点相遇时，它们都停止运动．设同时从点出发
秒时，
的面积为．①求出与的函数关系式，并写出的取值范围：②设
是①中函数的最大值，那么= .
问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？
初步思考：设不在同一条直线上的三点
、
、
确定的圆为⊙
．
（1）当、
在线段
的同侧时，
如图①，若点在⊙上，此时有
，理由是；
如图②，若点在⊙内，此时有
；
如图③，若点在⊙外，此时有．（填“
”、“
”或“
”）；
由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：．
类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当、在线段的异侧时的情形．
如图④，此时有，如图⑤，此时有，
如图⑥，此时有．
由上面的探究，请用文字语言直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：
．
拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：
如图，是⊙的直径，点在⊙上，求作：
．
作法：①连接
，
；
②在 
上任取异于、的一点，连接
，
；
③与相交于
点，延长
、
，交于
点；
④连接、并延长，交直径于
；
⑤连接、并延长，交⊙于N．连接
． 则．
请按上述作法在图④中作图，并说明的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）
沿海开发公司准备投资开发
、
两种新产品，通过市场调研发现：
（1）若单独投资种产品，则所获利润
（万元）与投资金额
（万元）之间满足正比例函数关系：
；
（2）若单独投资种产品，则所获利润
（万元）与投资金额（万元）之间满足二次函数关系：
．
（3）根据公司信息部的报告，，（万元）与投资金额（万元）的部分对应值如下表所示：
|
1 |
5 |
|
0.8 |
4 |
|
3.8 |
15 |
（1）填空：
；
；
（2）若公司准备投资20万元同时开发、两种新产品，设公司所获得的总利润为
（万元），试写出与某种产品的投资金额（万元）之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？
科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度 /℃ |
…… |
－4 |
－2 |
0 |
2 |
4 |
4.5 |
…… |
植物每天高度增长量 /mm |
…… |
41 |
49 |
49 |
41 |
25 |
19.75 |
…… |
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度
的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过
，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
，拱顶距离水面
.
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为
，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于
，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
如图，抛物线与
轴交于
、
两点，与
轴交
点，点的坐标为
，点的坐标为
，它的对称轴是直线
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）
是线段
上的任意一点，当
为等腰三角形时，求点的坐标．