(本小题满分12分)已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆-优题课

题文

(本小题满分12分)
已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线,使得和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当的面积最大时点P的坐标.

科目数学题型解答题难度容易

知识点：参数方程

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已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q = 3$ ，前3项和 $S_{3} = \frac{13}{3}$ 。
（I）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）若函数 $f (x) = A \sin (2 x + φ) (A > 0, 0 < φ < ρ < π)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值，且最大值为 $a_{3}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式.

若数列 $A : a_{1}, a_{2} \dots a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $|a_{k + 1} - a_{k}| = 1 (k = 1, 2, \dots, n - 1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列。记 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 。
（Ⅰ）写出一个 $E$ 数列 $A_{5}$ 满足 $a_{1} = a_{3} = 0$ ；
（Ⅱ）若 $a_{1} = 12, n = 2000$ ，证明： $E$ 数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2011$ ；
（Ⅲ）在 $a_{1} = 4$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S (A_{n}) = 0$ 成立的 $n$ 的最小值。

已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 。斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ 。
（1）求椭圆 $G$ 的方程；
（2）求 $∆ P A B$ 的面积。

已知函数 $f (x) = (x - k) e^{x}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间[0,1]上的最小值.

如图，在四面体 $P A B C$ 中， $P C ⊥ A B, P A ⊥ B C$ 点 $D, E, F, G$ 分别是棱 $P - A B C$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $D E / /$ 平面 $B C P$ ；
（Ⅱ）求证：四边形 $D E F G$ 为矩形；
（Ⅲ）是否存在点 $Q$ ，到四面体 $P A B C$ 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

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