本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知复-优题课

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知复数，（，是虚数单位）。
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.

科目数学题型解答题难度容易

直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B = A A_{1}, ∠ C A B = \frac{π}{2}$ .

（Ⅰ）证明 $C B_{1} ⊥ B A_{1}$ ;
（Ⅱ）已知 $A B = 2, B C = \sqrt{5}$ ,求三棱锥 $C_{1} - A B A_{1}$ 的体积.

函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - \frac{1}{2}$ .
（1）若 $a_{3}$ =，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和；
（Ⅱ）证明：对任意 $k \in N_{+}$ ， $a_{k}$ ， $a_{k + 2}$ ， $a_{k + 1}$ 成等差数列.

已知 $a$ 为正实数, $n$ 为自然数,抛物线 $y = - x^{2} + \frac{a_{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ,设 $f (n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.
（1）用 $a$ 和 $n$ 表示 $f (n)$ ；
（2）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f (n) - 1}{f (n) + 1} \geq \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（3）当 $0 < a < 1$ 时,比较 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{f (k) - f (2 k)}$ 与 $\frac{27}{4} \cdot \frac{f (1) - f (n)}{f (0) - f (1)}$ 的大小,并说明理由.

如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（Ⅰ）求轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$ 、 $R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。

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