本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护-优题课

题文

本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元。
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

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$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\overset{⇀}{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行.
（Ⅰ）求 $A$ ；
（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}, b = 2$ ,求 $∆ A B C$ 的面积.

已知关于 $x$ 的不等式 $|x + a| < b$ 的解集为 ${x | 2 < x < 4}$ ．
（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{a t + 12} + \sqrt{b t}$ 的最大值．

在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ ( $t$ 为参数).以原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. $⊙ C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \sin θ$ ．

（Ⅰ）写出 $⊙ C$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ） $P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求 $P$ 的直角坐标．

如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点，直线 $A D$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，两点， $B C ⊥ D E$ ，垂足为 $C$ ．

（Ⅰ）证明： $∠ C B D = ∠ D B A$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 3 D C$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

设 $f_{n} (x)$ 是等比数列， $x, x^{2}, . . . . . ., x^{n}$ ，的各项和，其中 $x > 0$ ， $n \in N, n \geq 2$
（Ⅰ）证明：函数 $F_{n} (x) = f_{n} (x) - 2$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$ ），且 $x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{n}^{n + 1}$ ；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n} (x)$ ，比较 $f_{n} (x)$ 与的大小，并加以证明．

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