.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)
如图，已知椭圆
，
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
(3)是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(本小题满分14分)
某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：
①销售量
(件)与衬衣标价
(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：
，在销售淡季近似地符合函数关系：
，其中
为常数；
②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中
时的标价为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
(Ⅰ)填出表格中空格的内容：
 数量关系销售关系 |
标价(元/件) |
销售量(件)(含 、 或 ) |
销售总利润 (元)与标价(元/件)的函数关系式 |
| 旺季 |
|
 |
|
| 淡季 |
|
(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？
(本小题满分14分)
已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得
，并说明理由．
(本小题满分12分)
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为
、
，记
；
(Ⅰ)求随机变量
的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设“函数
在区间
上有且只有一个零点”为事件
，求事件发生的概率．
(本题满分12分)
已知向量
，函数
·，
(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足
，且边b所对的角为
，试求的范围及函数的值域．
(本题满分14分)
已知二次函数
的图像过点
，且
，
.
(Ⅰ)求
的解析式；
(Ⅱ)若数列
满足
，且
，求数列的通项公式；
(Ⅲ)记
，数列
的前
项和
，求证:
．