.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题-优题课

.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)
如图，已知椭圆，，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明；
(3)是否存在常数，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

科目数学题型解答题难度容易

设函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x - a x^{2}$ 。
（1）若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若当 $x \geq 0$ 时 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E :\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 斜率为1的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}|$ $,|A B|,|B F_{2}|成等差数列.（1）求E的离心率；（2）设点p (0, - 1)满足|P A| = |P B|，求E的方程.$

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有 $99 %$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
附：

如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形， $A B / / C D, A C ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ ， $P H$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $A D$ 中点.
（1）证明： $P E ⊥ B C$ ;

（2）若 $∠ A P B = ∠ A D B = 60^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P E H$ 所成角的正弦值.

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 3 \times 2^{2 n - 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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