设函数,其中向量，（1）求的最小正周期与单调减区间；（2）在-优题课

题文

设函数,其中向量，
（1）求的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，已知，△ABC的面积为，求的值。

科目数学题型解答题难度容易

知识点：多面角及多面角的性质

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ .

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l : y = - \frac{1}{2} x + m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|} = \frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额（元）	0	1000	2000	3000	4000
车辆数（辆）	500	130	100	150	120

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10℅，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20℅，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

在直角坐标系 $x O y$ 中,已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ,点 $P (x, y)$ 在 $∆ A B C$ 三边围成的区域(含边界)上,且 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C} (m, n \in R)$

（1）若 $m = n = \frac{2}{3}$ ,求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）用 $x, y$ 表示 $m - n$ ,并求 $m - n$ 的最大值.

四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$ .

（1）求四面体 $A B C D$ 的体积；
（2）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形.

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin (A) + \sin (C) = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c = 2 a$ ，求 $\cos (B)$ 的值.

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