．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取1-优题课

题文

．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的公式）
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．

科目数学题型解答题难度容易

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$π$ 为圆周率， $e = 2.71828$ 为自然对数的底数.
（1）求函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；
（2）求 $e^{3}$ ， $3^{e}$ ， $e^{π}$ ， $π^{e}$ ， $3^{π}$ ， $π^{3}$ 这6个数中的最大数与最小数；
（3）将 $e^{3}$ ， $3^{e}$ ， $e^{π}$ ， $π^{e}$ ， $3^{π}$ ， $π^{3}$ 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多1，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（1）求轨迹为 $C$ 的方程；
（2）设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p (- 2, 1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 $X$ (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系:

年入流量 $X$	$40 < X < 80$	$80 \leq X \leq 120$	$X > 120$
发电量最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M, N$ 分别是棱 $A B, A D, A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上移动，且 $D P = B Q = λ (0 < λ < 2)$ .

(1)当 $λ = 1$ 时，证明：直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$ ；

(2)是否存在 $λ$ ，使平面 $E F P Q$ 与面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 2$ ,且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ .

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} > 60 n + 800 ?$ 若存在,求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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