探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题（）试猜想-优题课

平面内，如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AB = 10$ ， $AD = 15$ ， $\tan A = \frac{4}{3}$ ，点 $P$ 为 $AD$ 边上任意点，连接 $PB$ ，将 $PB$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $PQ$ ．

（1）当 $∠ DPQ = 10 °$ 时，求 $∠ APB$ 的大小；

（2）当 $\tan ∠ ABP : \tan A = 3 : 2$ 时，求点 $Q$ 与点 $B$ 间的距离（结果保留根号）；

（3）若点 $Q$ 恰好落在 $▱ ABCD$ 的边所在的直线上，直接写出 $PB$ 旋转到 $PQ$ 所扫过的面积．（结果保留 $π)$

如图，直角坐标系 $xOy$ 中， $A (0, 5)$ ，直线 $x = - 5$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $y = - \frac{3}{8} x - \frac{39}{8}$ 与 $x$ 轴及直线 $x = - 5$ 分别交于点 $C$ ， $E$ ，点 $B$ ， $E$ 关于 $x$ 轴对称，连接 $AB$ ．

（1）求点 $C$ ， $E$ 的坐标及直线 $AB$ 的解析式；

（2）设面积的和 $S = S_{ΔCDE} + S_{四边形 ABDO}$ ，求 $S$ 的值；

（3）在求（2）中 $S$ 时，嘉琪有个想法：“将 $ΔCDE$ 沿 $x$ 轴翻折到 $ΔCDB$ 的位置，而 $ΔCDB$ 与四边形 $ABDO$ 拼接后可看成 $ΔAOC$ ，这样求 $S$ 便转化为直接求 $ΔAOC$ 的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现 $S_{ΔAOC} \neq S$ ，请通过计算解释他的想法错在哪里．

如图， $AB = 16$ ， $O$ 为 $AB$ 中点，点 $C$ 在线段 $OB$ 上（不与点 $O$ ， $B$ 重合），将 $OC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $270 °$ 后得到扇形 $COD$ ， $AP$ ， $BQ$ 分别切优弧 $\hat{CD}$ 于点 $P$ ， $Q$ ，且点 $P$ ， $Q$ 在 $AB$ 异侧，连接 $OP$ ．

（1）求证： $AP = BQ$ ；

（2）当 $BQ = 4 \sqrt{3}$ 时，求 $\hat{QD}$ 的长（结果保留 $π)$ ；

（3）若 $ΔAPO$ 的外心在扇形 $COD$ 的内部，求 $OC$ 的取值范围．

发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．

验证（1） ${(- 1)}^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2}$ 的结果是5的几倍？

（2）设五个连续整数的中间一个为 $n$ ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．

延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．

编号为 $1 ~ 5$ 号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为 $40 %$ ．

（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；

（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 $50 %$ 的学生的概率；

（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．