．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过-优题课

．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度容易

知识点：参数方程

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，曲线 $C_{2} : \{\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数， $\frac{π}{2} < α < π$ ）．

（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

（2）若直线 $y = x + m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点、求 $m$ 的取值范围．

已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) \ln (1 + x)$ ．

（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2）是否存在 $a$ ， $b$ ，使得曲线 $y = f (\frac{1}{x})$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求 $a$ ， $b$ 的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A (- 2, 0)$ 在 $C$ 上．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点 $(- 2, 3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $A D = \sqrt{5} D O$ ， $B P$ ， $A P$ ， $B C$ 的中点分别为 $D$ ， $E$ ， $O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

（1）证明： $E F ∥$ 平面 $A D O$ ；

（2）证明：平面 $A D O ⊥$ 平面 $B E F$ ；

（3）求二面角 $D - A O - C$ 的正弦值．

在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ．

（1）求 $\sin ∠ A B C$ ；

（2）若 $D$ 为 $B C$ 上一点．且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积．

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