（本小题满分13分）已知双曲线的焦点为,且离心率为2；（Ⅰ）-优题课

设函数 $f (x) = \ln (a - x)$ ，已知 $x = 0$ 是函数 $y = xf (x)$ 的极值点．

（1）求a；

（2）设函数 $g (x) = \frac{x + f (x)}{xf (x)}$ ．证明: $g (x) < 1$ ．

记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $b_{n}$ 为数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}} = 2$ ．

（1）证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列;

（2）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面是矩形， $PD ⊥$ 底面 $ABCD$ ， $PD = DC = 1$ ， $M$ 为 $BC$ 的中点，且 $PB ⊥ AM$ ．

（1）求 $BC$ ；

（2）求二面角 $A - PM - B$ 的正弦值．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ．

（1）求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $S_{1}^{2}$ ， $S_{2}^{2}$ ；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y} - \bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

已知函数 $f (x) = |x - 2|, g (x) = |2 x + 3| - |2 x - 1|$ ．

（1）画出和 $y = g (x)$ 图像；

（2）若 $f (x + a) \geq g (x)$ ，求a的取值范围．