如图，AB•ACAD•AE，且∠1∠2，求证：△ABC∽△A-优题课

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AC$ ，垂足 $E$ 在 $CA$ 的延长线上， $DF ⊥ AC$ ，垂足 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，求证： $AE = CF$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a$ ， $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过两点 $A (2, 4)$ ， $B (4, 4)$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 的解析式．

（2）过点 $B$ 作 $BD$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $D$ ，连接 $AB$ ， $AD$ ，将 $ΔABD$ 以 $AD$ 为轴翻折，点 $B$ 的对应点为 $E$ ，直线 $DE$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，请判断点 $E$ 是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 是线段 $OC$ （不包含端点）上一动点，过点 $Q$ 垂直于 $x$ 轴的直线分别交直线 $DP$ 及抛物线于点 $M$ ， $N$ ，连接 $PN$ ，请探究：是否存在点 $Q$ ，使 $ΔPMN$ 是以 $PM$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 是 $BC$ 延长线上一点，且 $AD = CE$ ，连接 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）猜想证明：如图1，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = BC$ ，学生们发现： $DF = EF$ ．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$ 作 $DG / / BC$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，可证 $ΔDFG ≅ ΔEFC$ 得出结论；

思路2：过点 $E$ 作 $EH / / AB$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $H$ ，可证 $ΔADF ≅ ΔHEF$ 得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $DF = EF$ （只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ 于点 $M$ ，试探究线段 $AM$ ， $MF$ ， $FC$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = AC$ ， $∠ ABC = 2 ∠ BAC$ ， $\frac{AB}{BC} = m$ ，请你用尺规作图在图2中作出 $AD$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $N$ （不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$ 的代数式直接表示 $\frac{NF}{AC}$ 的值．

今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元 $/$ 件，月生产量 $y$ （千件）与出厂价 $x$ （元 $) (25 ⩽ x ⩽ 50)$ 的函数关系可用图中的线段 $AB$ 和 $BC$ 表示，其中 $AB$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{20} x + m (m$ 为常数）．

（1）求该企业月生产量 $y$ （千件）与出厂价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润 $W$ （元 $)$ 最大？最大利润是多少？ $[$ 月利润 $=$ （出厂价 $-$ 成本） $\times$ 月生产量 $-$ 工人月最低工资 $]$ ．

如图，以 $ΔABC$ 的边 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于点 $M$ ，交 $BC$ 边于点 $N$ ，连接 $AN$ ，过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ BCP = ∠ BAN$ ．

（1）求证： $ΔABC$ 为等腰三角形．

（2）求证： $AM \cdot CP = AN \cdot CB$ ．