如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作-优题课

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在⊙上．

（1）求的大小；
（2）写出两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k > 0)$ 的图象与 $x$ 轴, $y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点,且与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P (1, m)$ .

（1）求 $m$ 的值;

（2）若 $PA = 2 AB$ ,求 $k$ 的值.

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上的一个动点,连接 $AO, AO$ 的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $B$ ,过点 $A$ 作 $AE ⊥ y$ 轴于点 $E$ .

（1）如图①,过点 $B$ 作 $BF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ,连接 $EF$ .

①若 $k = 1$ ,求证:四边形 $AEFO$ 是平行四边形;

②连接 $BE$ ,若 $k = 4$ ,求 $△ BOE$ 的面积.

（2）如图②,过点 $E$ 作 $EP / / AB$ ,交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $P$ ,连接 $OP$ .试探究:对于确定的实数 $k$ ,动点 $A$ 在运动过程中, $△ POE$ 的面积是否会发生变化?请说明理由.

如图,直线 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ,与 $y$ 轴交于点 $B$ .直线 $MN / / AB$ ,且与 $△ AOB$ 的外接圆 $⊙ P$ 相切,与双曲线 $y = - \frac{30}{x}$ 在第二象限内的图象交于 $C, D$ 两点.

（1）求点 $A, B$ 的坐标和 $⊙ P$ 的半径;

（2）求直线 $MN$ 所对应的函数解析式;

（3）求 $△ BCN$ 的面积.

已知直线 $y = x$ 上点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD / / y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $B$ ，过点 $C$ 作 $NC / / x$ 轴交 $y$ 轴于点 $N$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $E$ ，若 $B$ 是 $CD$ 的中点，且四边形 $OBCE$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ .

（1）求 $k$ 的值；

（2）若 $A (3, 3), M$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 第一象限上的任一点，求证: $|MC| - |MA|$ 为常数6；

（3）现在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $A (3, 3), P (9, 6)$ 两地转运货物，经测算，从 $M$ 到 $A$ ，从 $M$ 到 $P$ 修建公路的费用都是每单位长度 $a$ 万元，则码头 $M$ 应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）

如图，点 $P$ 为 $x$ 轴负半轴上的一个点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象于点 $A$ ，交函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $y = - \frac{1}{x}$ 于点 $C$ ，连接 $AC$ .

（1）当点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ 时，求 $△ ABC$ 的面积；

（2）若 $AB = BC$ ，求点 $A$ 的坐标；

（3）连接 $OA$ 和 $OC$ .当点 $P$ 的坐标为 $(t, 0)$ 时， $△ OAC$ 的面积是否随 $t$ 的值的变化而变化?请说明理由.