在两个袋子中分别装有大小、质地完全相同的的卡片.甲袋中放了３-优题课

在两个袋子中分别装有大小、质地完全相同的的卡片. 甲袋中放了３张卡片，卡片上的数字分别为1，2，3；乙袋中放了2张卡片，卡片上的数字分别为4，5．张红和李欣两人做游戏，分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一张卡片，若所摸出的两张卡片上的数字之和为奇数，则判张红获胜；若两张卡片上的数字之和为偶数，则判李欣获胜．你认为这个游戏公平吗？请写出你的判断，并用列表或画树状图的方法加以说明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

设抛物线的解析式为 $y = a x^{2}$ ，过点 $B_{1} (1, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{1} (1, 2)$ ；过点 $B_{2} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{2}$ ； $\dots$ ；过点 $B_{n} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ ， $0) (n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{n}$ ，连接 $A_{n} B_{n + 1}$ ，得 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_{n} B_{n}$ ， $B_{n} B_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1 ⩽ k < m ⩽ n (k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $Rt$ △ $A_{k} B_{k} B_{k + 1}$ 与 $Rt$ △ $A_{m} B_{m} B_{m + 1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $AO$ ，我们称 $AO$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $AO$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $PO$ ，我们称 $∠ OAB$ 为"叠弦角"， $ΔAOP$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $(ΔAOP)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $∠ OAB = ∠ OAE'$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为　，　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为　　（用含 $n$ 的式子表示）

如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图， $OA$ 是支撑臂， $OB$ 是旋转臂，使用时，以点 $A$ 为支撑点，铅笔芯端点 $B$ 可绕点 $A$ 旋转作出圆．已知 $OA = OB = 10 cm$ ．

（1）当 $∠ AOB = 18 °$ 时，求所作圆的半径；（结果精确到 $0.01 cm)$

（2）保持 $∠ AOB = 18 °$ 不变，在旋转臂 $OB$ 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 $0.01 cm)$

（参考数据： $\sin 9 ° \approx 0.1564$ ， $\cos 9 ° \approx 0.9877$ ， $\sin 18 ° \approx 0.3090$ ， $\cos 18 ° \approx 0.9511$ ，可使用科学计算器）

甲、乙两人利用扑克牌玩"10点"游戏，游戏规则如下：

①将牌面数字作为"点数"，如红桃6的"点数"就是6（牌面点数与牌的花色无关）；

②两人摸牌结束时，将所摸牌的"点数"相加，若"点数"之和小于或等于10，此时"点数"之和就是"最终点数"；若"点数"之和大于10，则"最终点数"是0；

③游戏结束前双方均不知道对方"点数"；

④判定游戏结果的依据是："最终点数"大的一方获胜，"最终点数"相等时不分胜负．

现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7．

（1）若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为　　；

（2）若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的"最终点数"，并求乙获胜的概率．

如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长 $50 cm$ ，第2节套管长 $46 cm$ ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少 $4 cm$ ．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 $xcm$ ．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 $311 cm$ ，求 $x$ 的值．