（本小题满分16分）
已知椭圆
的离心率为
，一条准线
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设O为坐标原点，
是
上的点，
为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆
交于
两点．
①若
，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证点
在定圆上，并求该定圆的方程．
定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称是上的有界函数，其中
称为函数的一个上界．已知函数
，
．
（1）若函数
为奇函数，求函数在区间
上的所有上界构成的集合；
（2）若
为函数
在
上的一个上界，求实数
的取值范围．
已知函数
对任意实数
、
都有
，且
，当
时，
．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断在
上的单调性，并证明；
（3）若
，求满足不等式
的实数
的取值范围．
一块边长为
的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器．
（1）试把容器的容积
表示成底边边长
的函数；
（2）当
时，求此容器的内切球（与四个侧面和底面均相切的球）的半径
．
如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点
是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
平面
；
（3）求异面直线
与
所成角的余弦值．
如图是一个奖杯的三视图（单位：
），底座是正四棱台．
（1）求这个奖杯的体积
；（计算结果保留
）
（2）求这个奖杯底座的侧面积
．