（本小题满分13分）右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面-优题课

已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列．给出两个性质：

①对于 $\{a_{n}\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j} (i > j)$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}} = a_{m}$ ；

②对于 $\{a_{n}\}$ 中任意项 $a_{n} (n ⩾ 3)$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l} (k > l)$ ．使得 $a_{n} = \frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．

(Ⅰ)若 $a_{n} = n (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_{n} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\{a_{n}\}$ 为等比数列.

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点 $M, N$ ,直线 $MA, NA$ 分别交直线 $x = - 4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{| PB |}{| BQ |}$ 的值．

已知函数 $f (x) = 12 - x^{2}$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $- 2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最小值．

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

在 $△ ABC$ 中， $a + b = 11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ ABC$ 的面积．

条件①： $c = 7, \cos A = - \frac{1}{7}$ ；

条件②： $\cos A = \frac{1}{8}, \cos B = \frac{9}{16}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．