（本小题满分14分）已知函数对任意，都有.（1）求和的值；（-优题课

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题文

（本小题满分14分）已知函数对任意，都有.
（1）求和的值；
（2）若数列满足：则数列是等差数列吗？请给予证明。
（3）令，试比较与的大小。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：数列综合平面向量的数量积

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相关试题

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用 $ξ$ 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E ξ$ ．

矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $M (2, 0)$ ， $A B$ 边所在直线的方程为 $x - 3 y - 6 = 0$ ，点 $T (- 1, 1)$ 在 $A D$ 边所在直线上．
（I）求 $A D$ 边所在直线的方程；
（II）求矩形 $A B C D$ 外接圆的方程；
（III）若动圆 $P$ 过点 $N (- 2, 0)$ ，且与矩形 $A B C D$ 的外接圆外切，求动圆 $P$ 的圆心的轨迹方程．

如图，在 $R t ∆ A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ，斜边 $A B = 4$ ． $R t ∆ A O C$ 可以通过 $R t ∆ A O B$ 以直线 $A O$ 为轴旋转得到，且二面角 $B - A O - C$ 是直二面角．动点 $D$ 的斜边 $A B$ 上．
（I）求证：平面 $C O D ⊥$ 平面 $A O B$ ；
（II）当 $D$ 为 $A B$ 的中点时，求异面直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的大小；
（III）求 $C D$ 与平面 $A O B$ 所成角的最大值．

数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + c n$ （ $c$ 是常数， $n = 1, 2, 3 . . .$ ），且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公比不为1的等比数列．
（I）求 $c$ 的值；
（II）求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 $a_{1}$ ，以后每年交纳的数目均比上一年增加 $d (d > 0)$ ，因此，历年所交纳的储务金数目 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，…是一个公差为 $d$ 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 $r (r > 0)$ ，那么，在第 $n$ 年末，第一年所交纳的储备金就变为 $a_{1}$ ${(1 + r)}^{a - 1}$ ，第二年所交纳的储备金就变为 $a_{2}$ ${(1 + r)}^{a - 2}$ ，……，以 $T_{n}$ 表示到第 $n$ 年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出 $T_{n}$ 与 $T_{n} - 1$ $(n ⩾ 2)$ 的递推关系式；
（Ⅱ）求证： $T_{n} = A_{n} + B_{n}$ ，其中 $\{A_{n}\}$ 是一个等比数列， $\{B_{n}\}$ 是一个等差数列.

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