已知
且
，求证：
（本小题满分14分）
已知函数
满足如下条件：当
时，
，且对任意
，都有
．
（1）求函数的图象在点
处的切线方程；
（2）求当
，
时，函数的解析式；
（3）是否存在
，
，使得等式
成立？若存在就求出
（），若不存在，说明理由．
（本小题满分14分）
执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为
，
，…，
，
，
．（注：框图中的赋值符号“
”也可以写成“
”或“：”）
（1）若输入
，写出输出结果；
（2）若输入
，求数列
的通项公式；
（3）若输入
，令
，求常数
（
），使得
是等比数列．
（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，已知直线
:
，定点
，动点
到直线的距离是到定点
的距离的2倍.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）若
为轨迹上的点，以为圆心，
长为半径作圆，若过点
可作圆的两条切线
,
（
，
为切点），求四边形
面积的最大值．
（本小题满分14分）
如图8，在直角梯形
中，
，
，且
．现以
为一边向形外作正方形
，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，如图9．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求平面与平面
所成锐二面角的大小．
（本小题满分12分）
为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．
（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；
（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为
，求的数学期望和方差．