已知函数的图像过点（Ⅰ）求函数的最小正周期以及对称中心坐标；-优题课

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知 $a > 0$ , 函数 $f (x) = ax - x e^{x}$ .

(1) 求曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程.

(2) 证明: $f (x)$ 存在唯一的极值点.

(3) 若存在 $a$ , 使得 $f (x) ⩽ a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立, 求实数 $b$ 的取值范围.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 2 的等差数列, 其前 8 项的和为 64 . 数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于 0 的等比数列, $b_{1} = 4$ , $b_{3} - b_{2} = 48$

(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

$(2)$ 记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1) 证明: $\{c_{n}^{2} - c_{2}\}$ 是等比数列.

(2) 证明: $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$ .

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ , 上顶点为 $B$ , 离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , 且 $| BF | = \sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆的方程.

(2) 直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ , 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ . 过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ . 若 $MP ‖ BF$ , 求直线 $l$ 的方程.

如图, 在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为棱 $BC, CD$ 的中点.

(1) 求证： $D_{1} F ‖ A_{1} E C_{1}$ .

(2) 求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值.

(3) 求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值.